复数的基础单位仅有1与i两个，然而四元数的全球显得更为丰富。它拥有四个基本单位：1、i、j、k。这四个单位在数学的空间笛卡儿直角坐标系中有着独特的对应关系，其中i、j、k分别对应于空间中的x、y、z轴。一般的四元数形式为a+bi+cj+dk，这里的a、b、c、d都是实数，被称作四元数的系数。
两个四元数相等的要求是它们的对应系数分别相等。对于四元数的运算，加减法与一般复数相同，遵循交换律和结合律。而四元数的乘法虽然也满足结合律，却并不满足交换律，这使得四元数集不能构成传统的数域，而被称之为广域。这一特性使四元数在数学和物理领域中具有独特的地位。
四元数学说的进步极大地推动了向量代数的研究。英国著名的物理学家麦克斯韦，作为哈密尔顿的学生，通过掌握四元数学说，并运用向量分析等工具，成功建立了举世闻名的电磁学说。
在数学中，数域一个基本而重要的概念。它指的是在一个特定范围内所有实数的 * ，这个范围可以是全体实数，也可以是基于某个特定条件的实数子集。例如，天然数域、整数域、有理数域等，它们分别代表了不同的数 * ，并对数学运算具有封闭性。数域定义了数学运算可以发生的范围，即在这个范围内进行加、减、乘、除等运算时，结局仍然属于这个数的 * 。
需要关注的是，对于实数域上的n维向量空间，当n大于2时，定义乘法使其成为数域是难以实现的。我们通常只称二维向量为复数，而对于n大于2的向量空间则被定义为超复数体系。这一现象进一步突显了四元数的独特性和它在数学分类中的重要性。
复数在平面向量的表示和物理应用中发挥着重要影响。那么，大众不禁会想，能否仿照复数找到“三维复数”，用以表示空间向量呢？事实上，爱尔兰的数学家哈密尔顿在研究经过中发现，要在实数基础上建立三维复数并使其具有实数和复数的各种运算性质是不可能的。他进而研究了“四维复数”，也就是我们所说的四元数，并小编认为‘四元数讲义’里面进行了详细阐述。
四元数作为数学中的一个重要概念，其丰富的性质和独特的应用价格使得它在数学和物理领域中占有举足轻重的地位。对数域的研究也为我们深入领会数的性质和运算规律提供了重要的基础。
